Las matemáticas babilónicas

La historia

Una tablilla comprada por un coleccionista

A comienzos del siglo XX un editor estadounidense de Nueva York, George Arthur Plimpton, coleccionaba manuscritos antiguos. Hacia 1922 compró a un comerciante de antigüedades una tablilla de arcilla rota en una esquina, del tamaño de la palma de una mano, escrita en cuneiforme. Después la donó a la Universidad de Columbia, donde hoy se encuentra con la sigla «Plimpton 322». Durante años nadie le prestó atención. En 1945 dos historiadores de las matemáticas, Otto Neugebauer y Abraham Sachs, la estudiaron y se dieron cuenta de que contenía una tabla de números muy particulares. Desde entonces los estudiosos no han dejado de discutirla.

La tablilla, escrita probablemente hacia el 1800 a. C. y quizá procedente de Larsa, en el sur de Irak, tiene quince líneas de números. Según Neugebauer y Sachs, estos números están relacionados con los triángulos rectángulos, es decir, con esas ternas de números como 3, 4, 5 o 5, 12, 13 para las que el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos. Si fuera así, los babilonios conocían esa propiedad más de mil años antes de Pitágoras. Otros estudiosos, como Eleanor Robson, sostienen que la tablilla es sobre todo una lista de números preparada por un maestro para construir problemas para los alumnos. La cuestión sigue abierta, pero todos están de acuerdo en una cosa: detrás de esos números hay una matemática sofisticada.

Contar en base 60

Los babilonios no contaban como nosotros. Nuestro sistema es de base diez: después del nueve, se pasa al diez. El suyo era de base sesenta, llamado sexagesimal. No sabemos con certeza por qué lo eligieron: quizá porque 60 se divide exactamente por muchos números (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30), y es comodísimo para dividir en partes iguales. Una hipótesis curiosa es que derive de una manera de contar con los dedos: con el pulgar de una mano se tocan las doce falanges de los otros cuatro dedos, y con la otra mano se lleva la cuenta de las vueltas.

Sobre todo, el sistema babilonio era «posicional»: el valor de una cifra depende del lugar en que está, como en nuestro 305, donde el 3 vale trescientos. Esto facilita los cálculos con números enormes o pequeñísimos, y fue un invento fundamental. Durante mucho tiempo, sin embargo, faltó el cero: donde hoy escribimos 305, los escribas dejaban un espacio vacío, y solo mucho después, hacia el siglo III a. C., inventaron un signo para indicar el lugar vacío.

Qué sabían hacer

Los escribas babilonios, formados en las escuelas de Nippur, Ur y Larsa, usaban tablas ya hechas: de multiplicaciones, de inversos (los números por los que dividir), de cuadrados y de raíces. Con estos instrumentos resolvían problemas prácticos, como calcular el área de un campo, el volumen de un montón de tierra o de un canal, el número de ladrillos para un muro, o cuánto tiempo hace falta para que un capital se duplique con un cierto interés.

Sabían también resolver ecuaciones de segundo grado, con métodos que se parecen a los que se estudian hoy. Otra tablilla famosa, YBC 7289, conservada en la Universidad de Yale, muestra un cuadrado con las diagonales y un número escrito en base 60 que da la raíz cuadrada de 2 con una aproximación de seis cifras decimales: 1,41421296. Quien calculó este número, hace más de 3600 años, no tenía calculadora.

El cielo, el tiempo y el reloj

Los babilonios fueron también grandes observadores del cielo. Anotaron durante siglos los movimientos de la Luna y de los planetas, los eclipses y la salida de las estrellas, y aprendieron a predecirlos con cálculos. Sus números fueron retomados por los astrónomos griegos, en particular por Hiparco en el siglo II a. C. y por Ptolomeo en el siglo II d. C., que adoptaron el sistema sexagesimal para las fracciones. De ahí viene una herencia que usamos cada día: la hora dividida en 60 «partes minúsculas», es decir, en minutos, y el minuto en otros 60 «segundos» (en latín partes minutae secundae). El día de 24 horas es, en cambio, de origen egipcio, como hemos visto.

También la división del círculo en 360 grados viene de esa tradición. ¿Por qué 360? Quizá porque el año dura unos 360 días, quizá porque 360 es múltiplo de 60 y tiene muchísimos divisores. Los estudiosos no están seguros de la razón. Pero los griegos la tomaron de los babilonios, y de ellos ha llegado a nosotros.

Dudas y prudencias

Debemos tener cuidado de no exagerar. Los babilonios no escribían demostraciones como las de los griegos: decían «haz así y obtienes esto», con ejemplos numéricos, y no explicaban por qué funcionaba el método. Los historiadores discuten si tenían de verdad una teoría o solo recetas muy buenas. Y los textos que tenemos son pocos y están dañados: nuestra imagen de la matemática babilonia podría cambiar con nuevos descubrimientos.