Matematica babilonese

Il racconto

Una tavoletta comprata da un collezionista

All'inizio del Novecento un editore americano di New York, George Arthur Plimpton, collezionava manoscritti antichi. Verso il 1922 comprò da un mercante di antichità una tavoletta di argilla rotta in un angolo, grande come la palma di una mano, scritta in cuneiforme. La donò poi alla Columbia University, dove oggi si trova con la sigla «Plimpton 322». Per anni nessuno ci badò. Nel 1945 due storici della matematica, Otto Neugebauer e Abraham Sachs, la studiarono e si accorsero che conteneva una tabella di numeri molto particolari. Da allora gli studiosi non hanno più smesso di discuterne.

La tavoletta, scritta probabilmente intorno al 1800 a.C. e forse proveniente da Larsa, nel sud dell'Iraq, ha quindici righe di numeri. Secondo Neugebauer e Sachs, questi numeri sono legati ai triangoli rettangoli, cioè a quelle terne di numeri come 3, 4, 5 oppure 5, 12, 13 per cui il quadrato del lato maggiore è uguale alla somma dei quadrati degli altri due. Se fosse così, i Babilonesi conoscevano quella proprietà più di mille anni prima di Pitagora. Altri studiosi, come Eleanor Robson, sostengono che la tavoletta sia soprattutto una lista di numeri preparata da un insegnante per costruire problemi per gli allievi. La questione rimane aperta, ma tutti sono d'accordo su una cosa: dietro quei numeri c'è una matematica sofisticata.

Contare in base 60

I Babilonesi non contavano come noi. Il nostro sistema è in base dieci: dopo il nove, si passa al dieci. Il loro era in base sessanta, detto sessagesimale. Non sappiamo con certezza perché lo scelsero: forse perché 60 si divide esattamente per molti numeri (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30), ed è comodissimo per dividere in parti uguali. Un'ipotesi curiosa è che derivi da un modo di contare con le dita: con il pollice di una mano si toccano le dodici falangi delle altre quattro dita, e con l'altra mano si tiene il conto dei giri.

Soprattutto, il sistema babilonese era «posizionale»: il valore di una cifra dipende dal posto in cui sta, come nel nostro 305, dove il 3 vale trecento. Questo rende facili i calcoli con numeri enormi o piccolissimi, e fu un'invenzione fondamentale. Per molto tempo però mancò lo zero: dove oggi scriviamo 305, gli scribi lasciavano uno spazio vuoto, e solo molto dopo, verso il III secolo a.C., inventarono un segno per indicare il posto vuoto.

Che cosa sapevano fare

Gli scribi babilonesi, formati nelle scuole di Nippur, Ur e Larsa, usavano tavole già pronte: di moltiplicazioni, di inversi (i numeri per cui dividere), di quadrati e di radici. Con questi strumenti risolvevano problemi pratici, come calcolare l'area di un campo, il volume di un mucchio di terra o di un canale, il numero di mattoni per un muro, o quanto tempo ci vuole per fare raddoppiare un capitale con un certo interesse.

Sapevano anche risolvere equazioni di secondo grado, con metodi che somigliano a quelli che si studiano oggi. Un'altra tavoletta famosa, YBC 7289, conservata all'Università di Yale, mostra un quadrato con le diagonali e un numero scritto in base 60 che dà la radice quadrata di 2 con un'approssimazione di sei cifre decimali: 1,41421296. Chi ha calcolato questo numero, oltre 3.600 anni fa, non aveva una calcolatrice.

Il cielo, il tempo e l'orologio

I Babilonesi furono anche grandi osservatori del cielo. Annotarono per secoli i moti della Luna e dei pianeti, le eclissi e i levarsi delle stelle, e impararono a prevederli con calcoli. I loro numeri furono ripresi dagli astronomi greci, in particolare da Ipparco nel II secolo a.C. e da Tolomeo nel II secolo d.C., che adottarono il sistema sessagesimale per le frazioni. Di qui viene un'eredità di cui ci serviamo ogni giorno: l'ora divisa in 60 «parti minute», cioè in minuti, e il minuto in altri 60 «secondi» (in latino partes minutae secundae). Il giorno di 24 ore è invece di origine egizia, come abbiamo visto.

Anche la divisione del cerchio in 360 gradi viene da quella tradizione. Perché 360? Forse perché l'anno dura circa 360 giorni, forse perché 360 è un multiplo di 60 e ha moltissimi divisori. Gli studiosi non sono sicuri della ragione. Ma i Greci la presero dai Babilonesi, e da loro è arrivata a noi.

Dubbi e prudenze

Dobbiamo stare attenti a non esagerare. I Babilonesi non scrivevano dimostrazioni come quelle dei Greci: dicevano «fai così e ottieni questo», con esempi numerici, e non spiegavano perché il metodo funzionasse. Gli storici discutono se avessero davvero una teoria o soltanto ricette molto buone. E i testi che abbiamo sono pochi e danneggiati: la nostra immagine della matematica babilonese potrebbe cambiare con nuove scoperte.